Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни.Это обстоятельство приводит, естественно к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел.
  Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе. Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениями при расширении понятия о числе.
  Мы знаем, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начало координат; обратно - всякому отрезку или точке на оси OX соответствует определенное вещественное число.
  Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY, то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.
  Если условимся не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует число единица.
  Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY, сопоставим символ i, называемый мнимой единицой. Всякий вектор плоскости может быть представлен как сумма двух векторов и , параллельных осям координат. Вектору , параллельному оси OX, соответствует некоторое вещественное число a. Вектору , параллельному оси OY, пусть соответствует символ bi, где b - вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора , и которое будет положительным, если направление совпадает с положительным направлением оси OY, и отрицательным, если направление противоположно положительному направлению OY. Таким образом, естественно, вектору сопоставить комплексное число, имеющее вид
a + bi.  Отметим тот факт, что знак ( + ) в написанном выражении a + bi не есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа.
  Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора на координатные оси.
  Отложим от начала координат вектор , совпадающий по длине и направлению с вектором . Конец этого вектора A будет иметь координаты ( a, b ), и этой точке мы можем сопоставить то же комплексное число a + bi, что и векторам и .
  Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости) соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки).
  Придавая в выражении a + bi буквам a и b всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел; a называется вещественной и bi - мнимой частью комплексного числа.
  В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексное число совпадает со своей вещественной частью:
  Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа.
  Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление, т.е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, т.е. условие равенства комплексных чисел будет:
  В часности,
a + bi = 0  равносильно  a = 0;  b = 0.